(floyd)佛洛伊德算法

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赋值号左侧d[i][j]可是我朋友要计算的第k阶段是i和j之间的最短路径长度。在这里,都要确保赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值是上一阶段(k-1阶段)的值。前面否则分析过了,在新的d[i][j]算出然后,d[i][j]元素保留的值的确可是我上一阶段的旧值。但至于d[i][k]和d[k][j]呢?朋友无法挑选有一种个元素是落在白色区域(新值)还是灰色区域(旧值)。好在有原本一根绳子 重要的性质,dp[k-1][i][k]和dp[k-1][k][j]是不要再在第k阶段改变大小的。也可是我说,凡是和k节点相连的边,在第k阶段的值都不 会变。如可简单证明呢?朋友才能把j=k代入然后的d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])方程中,即:

最后,d[n][i][j]可是我所要求的图中所有的两点之间的最短路径的长度。在这里,都要注意上述动态转移方程的初始(边界)条件,即d[0][i][j]=w(i, j),也可是我说在不使用任何点的情况下(“松弛操作”的最初),两点之间最短路径的长度可是我两点之间边的权值(若两点之间这样边,则权值为INF,且我比较偏向在Floyd算法中把图用邻接矩阵的数据形状来表示,否则便于操作)。当然,还有d[i][i]=0i∈[1,n]

        for(int i = 1; i <= n; i++) {

    for(int i = 1; i <= n; i++)

    }

d[k][i][k]

        for(int i = 1; i <= n; i++)

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       动态转移的基本思想才能认为是建立起某一情况然后情况的有一种转移表示。按照前面的定义,d[k][i][j]是有一种使用1号到k号点的情况,才能想最好的办法把有一种情况通过动态转移,规约到使用1号到(k-1)号的情况,即d[k-1][i][j]。对于d[k][i][j](即使用1号到k号点中的所不得劲作为后边媒介时,i和j之间的最短路径),才能分为有一种情况:(1)i到j的最短路不经过k;(2)i到j的最短路经过了k。不经过点k的最短路情况下,d[k][i][j]=d[k-1][i][j]。经过点k的最短路情况下,d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。否则,综合上述有一种情况,便才能得到Floyd算法的动态转移方程:

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Floyd–Warshall(简称Floyd算法)是有一种著名的补救任意两点间的最短路径(All Paris Shortest Paths,APSP)的算法。从皮下组织上粗看,Floyd算法是三个小 非常简单的三重循环,否则纯粹的Floyd算法的循环体内的语录也十分简洁。我认为,正是否则“Floyd算法是有一种动态规划(Dynamic Programming)算法”的本质,才意味分析了Floyd算法这样精妙。否则,这里我将从Floyd算法的情况定义、动态转移方程以及滚动数组等重要方面,来简单剖析一下图论中有一种重要的基于动态规划的算法——Floyd算法。

void floyd() {

d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])(k,i,j∈[1,n]

那如可利用三个小 二维数组来实现滚动数组,以减小空间错综复杂度呢?

= d[k-1][i][k]

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“这样使用第1号到第k号点作为后边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度。”

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图中共有n个点,标号从1然后然后刚开始到n。否则,在这里,k才能认为是动态规划算法在进行时的有一种层次,否则称为“松弛操作”。d[1][i][j]表示只使用1号点作为后边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度;d[2][i][j]表示使用1号点到2号点中的所不得劲作为后边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度;d[n-1][i][j]表示使用1号点到(n-1)号点中的所不得劲作为后边媒介时,点i到点j之间的最短路径长度d[n][i][j]表示使用1号到n号点时,点i到点j之间的最短路径长度。有了情况的定义然后,就才能根据动态规划思想来构建动态转移方程。

也可是我说在第k-1阶段和第k阶段,点i和点k之间的最短路径长度是不变的。相同才能证明,在有一种个阶段中,点k和点j之间的的最短路径长度也是不变的。否则,对于使用滚动数组的转移方程d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])来说,赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值都不 上一阶段(k-1阶段)的值,才能放心地被用来计算第k阶段时d[i][j]的值。

            for(int j = 1; j <= n; j++)

原本朋友就才能编写出最为初步的Floyd算法代码:

= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+0)

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    for(int k = 1; k <= n; k++)

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几乎所有介绍动态规划中最为著名的“0/1背包”问题 的算法书籍中,一定会进一步介绍利用滚动数组的技巧来进一步减少算法的空间错综复杂度,使得0/1背包只都要使用一维数组就才能求得最优解。而在各种资料中,最为常见的Floyd算法也都不 用了二维数组来表示情况。这样,在Floyd算法中,是如可运用滚动数组的呢?

            for(int j = 1; j <= n; j++) {

    for(int k = 1; k <= n; k++) {

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            }

在动态规划算法中,地处首要位置、且也是核心理念之一的可是我情况的定义。在这里,把d[k][i][j]定义成:

}

        }

                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

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上图是使用滚动数组,在第k阶段,计算d[i][j]时的情况。此时,否则使用d[][]有一种二维数组作为滚动数组,在各个阶段的计算中被重复使用,否则数组中表示阶段的那一维也被退还 了。在这图中,白色的格子,代表最新被计算过的元素(即第k阶段的新值),而灰色的格子中的元素值,虽然保存的还是上一阶段(即第k-1阶段)的旧值。否则,在新的d[i][j]还未被计算出来时,d[i][j]中保存的值虽然就对应然后这样用滚动数组时d[k-1][i][j]的值。此时,动态转移方程在隐藏掉阶段索引后就变为:

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void floyd_original() {

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            d[0][i][j] = graph[i][j];

上图描述了在前面最初试的Floyd算法中,计算情况d[k][i][j]时,d[k-1][][]和d[k][][]有一种个二维数组的情况(d[k-1][][]表示第k-1阶段时,图中两点之间最短路径长度的二维矩阵;d[k][][]表示第k阶段时,图中两点之间最短路径长度的二维矩阵)。红色带有箭头的有向线段指示了规划方向。灰色表示否则算过的数组元素,白色代表还未算过的元素。否则d[k-1][][]和d[k][][]是三个小 相互独立的二维数组,否则利用d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]和d[k-1][k][j](皆地处后边的二维数组中)来计算d[k][i][j]时这样任何问题 。

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利用滚动数组改写后的Floyd算法代码如下:

}

否则,通过这篇文章的分析,朋友才能发现,Floyd算法的的确确是有一种典型的动态规划算法;理解Floyd算法,也才能帮助朋友进一步理解动态规划思想。

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        for(int j = 1; j <= n; j++)

再次观察动态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]),才能发现每三个小 第k阶段的情况(d[k][i][j]),所依赖的都不 前一阶段(即第k-1阶段)的情况(如d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]和d[k-1][k][j])。

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                d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]);

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= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][k])

d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])(k,i,j∈[1,n]